Wir beginnen in diesem Video mit einem neuen Kapitel, das irgendwo an der Schnittstelle

der linearen Algebra und der Analysis sich befindet.

Und zwar werden wir uns in der folgenden Woche mit euklidischen und unitären Vektorräumen

beschäftigen.

Euklidische und unitäre Vektorräume.

Den Begriff euklidischer Vektorraum haben Sie sicherlich bereits im letzten Semester

schon gehört.

Und einige der Konzepte, die wir uns im Folgenden anschauen werden, werden Ihnen sicher auch

schon bekannt vorkommen.

Dennoch macht es Sinn, sich nochmal vor Augen zu führen, was denn die grundlegenden Eigenschaften

der euklidischen und unitären Vektorräume sind, die es uns erlauben werden, Längen

zu messen und Winkel zu messen.

Gerade das sind sehr wichtige Eigenschaften, die nicht in jedem Vektorraum gegeben sind.

Denn bisher haben wir uns vor allem mit abstrakten Körpervektorräumen beschäftigt.

Also, wenn Sie sich daran erinnern, haben wir immer gesagt, V ist ein Vektorraum über

K und haben eigentlich keine Aussagen gemacht über K.

Das heißt, bisher waren wir immer davon ausgegangen, V ist ein K Vektorraum.

Und wir hatten das K beliebig und abstrakt gewählt.

Zwischenzeitig in den Beispielen habe ich mal angenommen, dass wir über den reellen

Zahlen sind oder über den komplexen Zahlen.

Aber eigentlich galten alle Aussagen für beliebige Körper.

Das Ganze werden wir jetzt im Folgenden etwas konkretisieren.

Wir werden uns nämlich speziell den Körper der reellen Zahlen und den Körper der komplexen

Zahlen anschauen und daraus ableiten, wie wir Längen und Winkel messen können.

Das sind zwei sehr wichtige Eigenschaften, die nur in solchen Vektorräumen funktionieren.

Das heißt, ab jetzt der Körper K ist dann entweder gleich den reellen Zahlen oder gleich

den komplexen Zahlen.

Und für diese beiden Fälle nennen wir einmal den Vektorraum euklidisch, gerade in dem

Fall, wo wir über den reellen Zahlen sind.

Euklidischer Vektorraum und bei den komplexen Zahlen das, was übrig bleibt, der unitäre

Vektorraum.

Dafür werden wir nochmal ganz grundlegend anfangen, uns zu überlegen, was sind die

Abbildungen, die Eigenschaften, die wir benötigen für Längen und für Winkel.

Und darauf aufbauen, werden wir wichtige Abschätzungen treffen können, die es uns erlauben, vernünftig

mit Vektoren zu rechnen, Winkel zu messen und eigentlich all das zu tun, was man später,

vor allem in der Numerik, brauchen kann, um zum Beispiel in der Physik gewisse Kräfte

auszurechnen oder im Bereich Data Science Geometrie von Vektoren zu untersuchen, um

die Aussagekraft eines Datensatzes zu bewerten.

All das basiert auf dem, was wir jetzt im Folgenden machen werden.

Wir werden anfangen mit dem euklidischen Fall, das heißt, wir schauen uns erstmal an, was

ist das kanonische Skalarprodukt in R.

Das wird uns in diesem Video beschäftigen.

Das heißt, im Folgenden schauen wir uns das Unterkapitel an.

Das kanonische Skalarprodukt im Körper R hoch N, im Vektorraum R hoch N.

Das heißt, wir haben einen endimensionalen, endlichdimensionalen Vektorraum und nehmen

den über den Körper R.

Das heißt, sei im Folgenden immer, das ist jetzt wichtig, unser Vektorraum V angenommen

als die endimensionalen euklidischen Zahlen.

Dann können wir als allererstes mal definieren, was das Skalarprodukt ist, oder das kanonische

Skalarprodukt.